基礎数学例

$(\frac{7 a + 14 a^{2}}{9 a^{2} + 6 a + 1}) (\frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1})$

ステップ 1

$7 a$ を $7 a + 14 a^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$7 a$ を $7 a$ で因数分解します。

$\frac{7 a (1) + 14 a^{2}}{9 a^{2} + 6 a + 1} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 1.2

$7 a$ を $14 a^{2}$ で因数分解します。

$\frac{7 a (1) + 7 a (2 a)}{9 a^{2} + 6 a + 1} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 1.3

$7 a$ を $7 a (1) + 7 a (2 a)$ で因数分解します。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{9 a^{2} + 6 a + 1} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$9 a^{2}$ を ${(3 a)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a)}^{2} + 6 a + 1} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a)}^{2} + 6 a + 1^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 a = 2 \cdot (3 a) \cdot 1$

ステップ 2.4

多項式を書き換えます。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a)}^{2} + 2 \cdot (3 a) \cdot 1 + 1^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 2.5

$a = 3 a$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ で和が $b = 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$5$ を $5 a$ で因数分解します。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 (a) + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2

$5$ を $2$ プラス $3$ に書き換える

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + (2 + 3) a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 2 a + 3 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(6 a^{2} + 2 a) + 3 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 a (3 a + 1) + 1 (3 a + 1)}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 3.3

最大公約数 $3 a + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(3 a + 1) (2 a + 1)}{4 a^{2} - 1}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$4 a^{2}$ を ${(2 a)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(3 a + 1) (2 a + 1)}{{(2 a)}^{2} - 1}$

ステップ 4.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(3 a + 1) (2 a + 1)}{{(2 a)}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 a$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(3 a + 1) (2 a + 1)}{(2 a + 1) (2 a - 1)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

まとめる。

$\frac{7 a (1 + 2 a) ((3 a + 1) (2 a + 1))}{{(3 a + 1)}^{2} ((2 a + 1) (2 a - 1))}$

ステップ 5.2

$3 a + 1$ と ${(3 a + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$3 a + 1$ を $7 a (1 + 2 a) ((3 a + 1) (2 a + 1))$ で因数分解します。

$\frac{(3 a + 1) (7 a (1 + 2 a) (2 a + 1))}{{(3 a + 1)}^{2} ((2 a + 1) (2 a - 1))}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 a + 1$ を ${(3 a + 1)}^{2} ((2 a + 1) (2 a - 1))$ で因数分解します。

$\frac{(3 a + 1) (7 a (1 + 2 a) (2 a + 1))}{(3 a + 1) ((3 a + 1) ((2 a + 1) (2 a - 1)))}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(3 a + 1) (7 a (1 + 2 a) (2 a + 1))}{(3 a + 1) ((3 a + 1) ((2 a + 1) (2 a - 1)))}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{7 a (1 + 2 a) (2 a + 1)}{(3 a + 1) ((2 a + 1) (2 a - 1))}$

ステップ 5.3

$2 a + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 a (1 + 2 a) (2 a + 1)}{(3 a + 1) ((2 a + 1) (2 a - 1))}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{(3 a + 1) (2 a - 1)}$

基礎数学 例

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